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2-3-2-4 : Conception des pavillons JMLC

Mise à jour : 26 février 2022

 

Article trouvé dans la revue Musique et technique du 2eme trimestre de 1999.
Cette revue a cessée de paraître depuis plusieurs années.
L'auteur, Jean Michel LE CLEAC'H, était bien connu sur plusieurs forums. Il est malheureusement décédé.

La méthode de calcul a certainement évoluée depuis :
Contrairement au dessin de la page 4 ou les cotés du pavillon partent pratiquement horizontalement (à 90°), le calcul actuel montre des cotés qui repartent vers l'arrière (à 180°) pour revenir vers l'avant (270° et plus).

 

Page 1 / 5 :

jlmc1.jpg

 

Page 2 / 5 :

jlmc2.jpg

 

Page 3 / 5 :

jlmc3.jpg

 

Page 4 / 5 :

jlmc4.jpg

 

Page 5 / 5 :

jlmc5.jpg

 

Téléchargez la version 2007 du fichier de calcul de Jean Michel LE CLEAC'H.
C'est sur des points de détail comme celui-ci que l'on se rend compte combien Internet a fait des progrès au fil du temps.

Calotte sphérique, pour le calcul de l'aire, dans Wikipédia.

Surface d'un secteur sphérique

 

Méthode de calcul Dôme Acoustique, départ du calcul :

Départ du calcul :

Les deux premières sections seront des sections sphériques.
La valeur de la première section sera conservée, la seconde à petite distance de la première ne sert qu'à avoir l'angle de départ du pavillon, angle qui ne dépend que de la surface de gorge, de la surface suivante à la distance X, et de la fréquence de calcul de la loi d'expansion.
Si la figure 2c montre des surfaces qui ont l'air droite, en pratique elles sont sphériques.
Si la même figure montre les sections F1, F2, F3, F4 et F5, je vais partir avec une section F0 de plus, F0 sera sphérique.

La calcul avec la loi d'expansion donne une surface S0 et une surface S1 à une distance X1 connue par rapport à S0.
Nous commencerons avec des surfaces planes de diamètre D0 = racine( S0 * 4 / Pi) et D1 = racine( S1 * 4 / Pi). R0 = D0 /2 et R1 = D1 / 2.
Ces deux diamètres permettent d'avoir l'angle de départ : ALPHA0 = ASIN( (R1 - R0) / X ).

Avec l'angle, nous pouvons avoir le rayon de la première surface sphérique XDR0 = R0 / SIN( ALPHA0 ). Le point est souvent loin en arrière du départ du pavillon.
Nous pouvons aussi avoir H0 = XDR0 - racine( XDR02 - R02 ), et S0 = 2 * Pi * XDR0 * H0.

Nous pouvons faire de même pour la surface 1 :
XDR1 = XDR0 + X1
H1 = XDR1 - racine( XDR12 - R12 ).
S1 = 2 * Pi * XDR1 * H1.
ALPHA1 = ALPHA0.

L'aire d'une calotte sphérique est donnée avec 3 formules différentes : J'ai bien sur calculé avec les 3 pour vérifier la cohérence jusq'au 11e chiffre après la virgule.
Cette vérification faite, j'ai gardé la formule la plus simple...

 

Boucle d'ajustement :

Il faut retoucher les rayons R0 et R1 autant de fois que nécessaire pour faire correspondre les surfaces avec la loi d'expansion, et avoir l'angle de départ.
Nous avons un rayon R0, une surface théorique STH donnée par la loi d'expansion, une surface sphérique calculée SCALC.
Nouveau_R0 = R0 * racine( STH / SCALC ).
De la même façon nous recalculons Nouveau R1.
Le calcul est relancé autant de fois que nécessaire, la différence entre ABS( STH - SCALC) est calculée, et quand la précision de 0.0000000001 mm2 est atteinte, le calcul est arrêté....

 

Fin du calcul :

Les valeurs R0 sont affichée dans le tableau.
La longueur de départ est 0 mm pour R0, la valeur est affichée elle aussi.
La longueur pour R1 est X * COS(ALPHA1).

Nous avons maintenant de bonnes valeurs de départ pour calculer les autres sections.

 

Conclusion :

Le départ du calcul est vérifié et validé à une réserve près, il faut un très petit pas pour initialiser l'angle de départ avec une précision suffisante.
Je ne vous laisserai pas le choix de la valeur qui est initialisée à 0.005 mm !!!

 

Méthode de calcul Dôme Acoustique, autres surfaces :

Calcul de la surface d'un élément :

Les autres surface sont les éléments de type a et b en page 3/5.
Si nous définissons ces éléments avec un rayon, un angle de départ et un angle de fin, la surface F(i+1) pourra se calculer rigoureusement de la même façon pour les types a ou b.
L'élément de type b est nécessaire, c'est lui qui permettra d'obtenir la surface totale théorique en changeant progressivement l'angle par itérations.

Imaginons que nous découpions chaque surface avec une toute petite longueur dL. dL = 0.0001 mm.
Avec le rayon R au milieu du dL, la circonférence est 2 * Pi * R, et la surface 2 * Pi * R * dL.
Un boucle de calcul fera la somme des surfaces de largeur dL sur la longueur L.
Mon calcul n'est pas un calcul exact, mais la vérification à la CAO donne une précision de 0.03 mm2 sur une portion de 10° à 1000 mm, précision que je n'arrive pas à réduire en gardant un temps de calcul encore raisonnable.
Il faudra voire la précision obtenue quand il y aura 20 ou 30 calculs de surfaces consécutifs, sur les grandes sections F20 à F30 éloignées de la gorge.

 

Surface d'ajustement :

C'est l'élément de type b en page 3/5 pour chacune des surfaces F1, F2, F3, F4, ect...
Les morceaux de surfaces de type a en page 3/5 sont connus, leur surface est calculable.
Une boucle permettra de trouver l'angle final à utiliser pour avoir la surface manquante.

 

Calcul d'une loi d'expansion :

Expansion du pavillon :
Fréquence de coupure basse Fcb en Hz : 
Fréquence de calcul de la loi d'expansion : 
Coeficient T de calcul de la loi d'expansion : 
Entrez la Surface Sg de gorge en cm2
 
Longueur, pas de calcul et pas d'affichage :
Entrez la Longueur Lg du calcul du pavillon en cm : 
Entrez le Pas de calcul du pavillon en cm : 
Entrez le Pas d'affichage du pavillon en cm : 

 

 

 

 
Fréquence de calcul de la loi d'expansion : 100.0 Hz, M = 3.6561 m-1, T = 0.707, C = 343.707 m/s.
Fréquence minimale d'utilisation : 150.0 Hz pour le calcul du couple de valeurs (longueur, surface) pour N = 1, 2, 4 et 8.
Pas de calcul = 50 mm, Pas d'affichage = 5 cm, Nombre de pas entre chaque affichage = 1.
 
COMMUN, LOI D'EXPANSION
Surfaces à respecter quelque soit le type de surfaces : Plane, Cylindrique, Sphérique, JMLC, Temporelle ou Tractrix.
ROND
surfaces planes
ROND
surfaces JMLC
J'abandonne pour quelques mois...
Longueur
sur l'axe
Surface Diamètre Longueur horizontale
bord pavillon
Verticale 1/2 Angle
0 0.00 cm 150.0000 cm2 138.20 mm      
1 5.00 cm 171.3796 cm2 147.72 mm      
2 10.00 cm 197.2453 cm2 158.47 mm      
3 15.00 cm 228.4639 cm2 170.55 mm      
4 20.00 cm 266.0816 cm2 184.06 mm      
5 25.00 cm 311.3590 cm2 199.11 mm      
6 30.00 cm 365.8135 cm2 215.82 mm      
7 35.00 cm 431.2697 cm2 234.33 mm      
8 40.00 cm 509.9214 cm2 254.80 mm      
9 45.00 cm 604.4041 cm2 277.41 mm      
10 50.00 cm 717.8842 cm2 302.33 mm      
11 55.00 cm 854.1645 cm2 329.78 mm      
12 60.00 cm 1017.8120 cm2 359.99 mm      
13 65.00 cm 1214.3107 cm2 393.21 mm      
14 70.00 cm 1450.2456 cm2 429.71 mm      
15 75.00 cm 1733.5231 cm2 469.81 mm      
16 80.00 cm 2073.6362 cm2 513.83 mm      
17 85.00 cm 2481.9827 cm2 562.15 mm      
18 90.00 cm 2972.2468 cm2 615.17 mm      
19 95.00 cm 3560.8578 cm2 673.34 mm      
20 100.00 cm 4267.5410 cm2 737.13 mm      
21 105.00 cm 5115.9782 cm2 807.09 mm      
22 110.00 cm 6134.6018 cm2 883.79 mm      
23 115.00 cm 7357.5472 cm2 967.88 mm      
24 120.00 cm 8825.7970 cm2 1060.06 mm      
25 125.00 cm 10588.5542 cm2 1161.11 mm      
26 130.00 cm 12704.8912 cm2 1271.86 mm      
27 135.00 cm 15245.7294 cm2 1393.25 mm      
28 140.00 cm 18296.2157 cm2 1526.29 mm      
29 145.00 cm 21958.5760 cm2 1672.08 mm      
30 150.00 cm 26355.5412 cm2 1831.85 mm      

 

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